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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 )fzT7i=J0  
g+7%{j FE  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. s zbf&x]{  
76`&` p5{  
　　1、三角函数本质： h$v $ y  
XYoV<&z"  
　　三角函数的本质来源于定义 i;+TqTc}  
xx&M=T>d  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 w/Q 5a#  
q`(2T#O  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 `7v]/4Ff  
+ 5|Pu_  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 19>Q[2;)}  
$<An/n)  
　　推导： 4*/qETXc  
N $ ze1L  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 S,8MakvQ2o  
^27Kd,:D  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) -&^m#t ]4  
"PLB5C8  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) )EicSiES  
fiOndejK  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 as2,lQ <[  
=cgSP<d\  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Hy| =e7gZ  
+=nY 6  
　　[1] vO/#(,h  
H2b.z  
　　两角和公式 %d(H-TP2^  
g-oU2b)@  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB vz]l$75  
f8XZy+/`  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  wD8hF69v  
q!P%IiT]1x  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB d*tj&v~P  
FOMsd?:  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB },& 3O  
TZlXQZc  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Uki7R1K   
x #2(QN  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) z<(4g*?oW  
0b'T* bl9*  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  F`G P,!id  
"} x_ A]#  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ,7>CH lAMX  
~S:L^0[7  
倍角公式 *mM+^Pk{u  
lCvfK~@t  
　　Sin2A=2SinA•CosA c-4iN(Km  
} }y>Wr_  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1  <  `  
',4Jf/  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） !3o6J3 2P  
`Ct3aL<NU  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） &5Bo,dM\|  
? ._;c,T  
三倍角公式 xM.H~q  
| q ~"@~  
　　 j !C} eZ  
YoR_i?  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) {U wO'Kqe  
D&0dMtR`  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) T&]|tPPD  
p@Q-t%s%  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) }HzbxF8&qd  
IK8j;h#j  
三倍角公式推导 ~nDt7: L  
; ",H*j!  
　　sin3a wh):j*=  
A#BHApvt  
　　=sin(2a+a) J/fLTNX9  
Hf~n8L  
　　=sin2acosa+cos2asina bp:'CSxn  
sJwv aQ0  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina VBI$Y Ub  
QC"TsGayd:  
　　=3sina-4sin³a @&wd{TY  
Q@/Rz {52  
　　cos3a W&)]~Ny;n  
2/*{ 7g  
　　=cos(2a+a) G@)AHb-H  
D0!<<9OG  
　　=cos2acosa-sin2asina g&D]{"   
"Pyii5 }3o  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 52z2kNwejG  
3<= QD=  
　　=4cos³a-3cosa qY]d^hZ}'  
!jtAV7EM^}  
　　sin3a=3sina-4sin³a ;+Ke # 9<  
*MRRuk`%k  
　　=4sina(3/4-sin²a) O&FI/b%=z  
gk }#"4!  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] aA\^>(<!  
,~g/RJ8  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) {1n/K7\  
5b#?DX&9(  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) anTW&uTte  
.Ax'XE+ @5  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] u}'\*!3 s  
==gr^Bfk  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) n/)2VnE}  
+BL!CW Nl  
　　cos3a=4cos³a-3cosa f67Lu@/K  
9Dh e4:  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 6'6GUX{5^  
TWd"1}  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] _5 Z0ws&  
FhRh?  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) )G2Cqqfw^  
}L%!d]CW\/  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) PA-M|?[f  
t(#["SbD  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} {|CXmS: 5  
T)CT{z5k  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) X:J1^ ]m)#  
*JM-w5Z<  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] O@Sd5K8=y  
q 7]tRe?"  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] X'w9"q<SYg  
ne(IdPh:7  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ?iXu$+he%@  
hU"3Z  
　　上述两式相比可得 S[^L4"[  
YuPBo %  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ueV.A$,v  
b[hf"[!_p  
半角公式 g)-"P,V8b  
s=<c- I  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); l?v/{M  
"Wl_Hfxk\x  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. eakqIq  
BPip<  
和差化积 ]9LM9i  
>!#2c6g5  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 0s\U;^c2  
F UsFNY?  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] M{`Rij  
epP:A6g  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ]_2RvW&#  
Da w0 E  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] )7vo30 Yf  
#jX?\}[3  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) vQDcr"Vr  
Rf_L~~1<  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) U6!5y?YB  
~A\i 7^@  
积化和差 3#2W93'x?-  
ittUQ320 N  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 5A83J3aN  
F-z4e_D-k  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] \<$!]I  
N[B>A=[9T  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]  :6`{bksc  
X[# h^yjk  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 1\GQ }e7  
<3rq% *  
诱导公式 UKwndYw*o  
tYAbv  
　　sin(-α) = -sinα 633JPS $  
4 e#qt!k(  
　　cos(-α) = cosα ~$ ZiF  
A2$)w[sse  
　　sin(π/2-α) = cosα 9AcEr\L  
wM }z7YQ  
　　cos(π/2-α) = sinα 0^=Ay^H  
94Vmb*Y  
　　sin(π/2+α) = cosα :Li3OZ4q  
d[DT,Z>nz  
　　cos(π/2+α) = -sinα =\!Sb #%  
*g_n pd)  
　　sin(π-α) = sinα RgTHB7\  
HR@H@,e&  
　　cos(π-α) = -cosα t_m}wAv  
F[RVV62l  
　　sin(π+α) = -sinα 3P2uAZ9 x  
W) l2 Ex{  
　　cos(π+α) = -cosα O"ky8ly  
)gT]W24/  
　　tanA= sinA/cosA S#7|r<  
Dz 2ebb$_  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα $K)4@gn3  
!H@]GI]IN  
　　tan（π/2－α）＝cotα o=.k#l  
S `@SNP  
　　tan（π－α）＝－tanα 'sl7PC>  
yaP>y+B4B  
　　tan（π＋α）＝tanα 0 4"%-V  
xl)UC `5  
万能公式 c`-783/v  
,K|LGHl  
　　 ODOG2 /)V  
H fv{2,>  
其它公式  vl ls  
)~NX,m_F  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 De>|_8   
<S<U}p  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 vd)~T$jn  
YZlE3)$4  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 m<N`FPC[  
XQuGbmw  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 !)K?9zblt~  
E;]+M+h  
　　对于任意非直角三角形,总有 Vq7Of* 9  
bRsHiA}D)  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC -H3kN@  
k~ DD?^y  
　　证: IVIJ@tc"  
)or8kbSN6  
　　A+B=π-C ,o 8J Pr`n  
9NgQjDf  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 9GCqv<  
QB y&V  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) (BsID%p  
\fhc_  
　　整理可得 6nwN.j)6P  
YLEop!8J  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC R)wp1j7  
"yU(PC_=c  
　　得证 3q<7pc  
Z2\vv  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 = v:PA*R  
+?GCR=Y<  
其他非重点三角函数 bIHUo eMv  
S E_SEC  
　　csc(a) = 1/sin(a) /J^='J([  
lA`o(!:0  
　　sec(a) = 1/cos(a) o*=_D  
%f>StiQ  
　　 BX| j&%  
fOv]CqXHX  
双曲函数 VkZTv8C|1t  
S/HT%TJEJ  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 j DJ+r'B2  
`^?rDZJ  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ?<M1Vo*T  
aFl?Y^s2  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) RoRLXC  
pp}Uu%I$  
　　公式一： W v):b  
{L9Al3Z  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 0x15YbD|  
b.e68/d  
　　sin（2kπ＋α）= sinα >h n  
q7-tKT<zB  
　　cos（2kπ＋α）= cosα /Hw[~%jk  
=OM `9F{  
　　tan（kπ＋α）= tanα ':FE[~ns  
@o)<%  
　　cot（kπ＋α）= cotα ]*j0M;l  
!}kw0iqk  
　　公式二： yJD|`4 P  
_ X*.~  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： /L]V,m=6  
2E<m}  
　　sin（π＋α）= -sinα `<0x@b zZ  
byP\Y4*  
　　cos（π＋α）= -cosα y+jIMRa  
zI5V!s?  
　　tan（π＋α）= tanα )n2X :\3  
f%=lr3Zj  
　　cot（π＋α）= cotα ;K5L*>ln[  
IpkUox  
　　公式三： wkb|DUni  
jt"k (@  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： H tK)U  
mp~R;Fx.I  
　　sin（-α）= -sinα CuR84A~$  
d'< wu7  
　　cos（-α）= cosα VP9DM]m  
&*DR/B-  
　　tan（-α）= -tanα 0;p9k1-X  
&7f7q 9e  
　　cot（-α）= -cotα g5 q / =*  
-*H?nE <lU  
　　公式四： N&qx  
n5ugs[ 2.  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： `.b, .b  
.:#Oe l5  
　　sin（π-α）= sinα `m<:7)De  
a<Ky} T%>  
　　cos（π-α）= -cosα 7[x%!teP  
m'C|aPm*  
　　tan（π-α）= -tanα 8D=.PkY  
@Wfz6=)P  
　　cot（π-α）= -cotα e<#R~/K(l  
:m'( x 4h?  
　　公式五： dV:hSi6Pti  
g~[:+LX5  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： %(dNu8b  
2(o(Y<W`  
　　sin（2π-α）= -sinα "[^ w/s+}  
 =}$!f  
　　cos（2π-α）= cosα 05-O.|  
%7(,}j}  
　　tan（2π-α）= -tanα CDxCyi"LK  
6,M_q`F  
　　cot（2π-α）= -cotα V){Ct<`0M  
p>MkQ#?!  
　　公式六： dB49l5  
V"fXf/fIz  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： g|cRgq6  
ZUJsW31L  
　　sin（π/2+α）= cosα khC[}  
hw)"e$w`9  
　　cos（π/2+α）= -sinα ) vGQ0  
$Jm6y  
　　tan（π/2+α）= -cotα 6`&y0S#  
Z)}c)<\\u  
　　cot（π/2+α）= -tanα +2#I)(MB  
d+Jv^(wu  
　　sin（π/2-α）= cosα Q< Z"hiI  
,^:i#q7mX  
　　cos（π/2-α）= sinα rxO4_:v_  
Cir9`r05  
　　tan（π/2-α）= cotα (2}]Ok8So  
z?.r fPf  
　　cot（π/2-α）= tanα Myo<lev#Q  
G di,+<IK  
　　sin（3π/2+α）= -cosα L!'[Y\g7T5  
NlP8:B[  
　　cos（3π/2+α）= sinα )q0ne  
O(i~.NEC  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ,i H/   
,l-8,[/[  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ~c z|e}  
pZKn[R  
　　sin（3π/2-α）= -cosα xEv` b]+]=  
cV(71R_  
　　cos（3π/2-α）= -sinα uI89@ J  
U*&Qau  
　　tan（3π/2-α）= cotα GZ+S^'4p  
^Z]ZX  
　　cot（3π/2-α）= tanα +W"t(=  
Jo,f/}  
　　(以上k∈Z) @{gv#IC  
+P I[E $7  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 rx1YR~F\{Y  
Bzv~6"/~  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = g# s8"  
oqzb'(q  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } S` rN-  
fpt)D vr4  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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