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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 kCCR?c+_  
Z m4Z.MmB  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ur( :$53.  
JR_YzXg  
  1、三角函数本质: /m o&qr  
[A,CA zX  
  三角函数的本质来源于定义 7MnJ"  
} mQ^}4  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 0T A::|e  
TY $L  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 m {%&k\[ ,  
R?b|Y{C  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: _ _Y7h-  
;p#s**Dq  
  推导: O@aJ)aM~'  
2;>Ff~$7y  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 > e1s(  
5]Y8cAOD  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) tJdnkA  
LhXZJzlmUp  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) BV~CZi+  
YF^4;Vc  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ZnaUiAYiy  
Kge:yN  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2)  HDkX!rc  
5kG,P[r.D  
  [1] s2@ E{JM|  
P:lYnF<3c  
  两角和公式 wS}">eD  
p[F>oPE6-w  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB $e[FEEG  
>-1{P,[  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  [ Nf$  
<ouf6 ;  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB "~!_*c[  
\MM&q  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB K]wsSA+:6  
K_`Dc~$}#  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) I<;4lb]  
GE4ygRVI5  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) qmgeE}2"  
6D$k/&  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  5yXvz  
6 $HR}r  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) H+\^M?y c  
2+7/aI"  
倍角公式 W <jW[  
QD^cM  
  Sin2A=2SinA•CosA +YM[uYY"v.  
4 s,y-  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 }bg+bqy~  
51$].U 8  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) EJWe3*[I@D  
2yxhM';Z  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) o<9x2c=FUH  
PLwmX?GPg  
三倍角公式 c+<]5j+q  
;BwJ$  
   q$?4G~O   
3<abU TQ3  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) W>}M>.f{i  
2|&rBq`EA  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) S@+y> \  
,}I\gz{]VP  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) }C?u=BCs  
-G?Z,g<  
三倍角公式推导 CuF7WO4  
7u7 cx  
  sin3a kMbQ1E6B  
J8!qDA''  
  =sin(2a+a) 4D U)  
2c[) a}n  
  =sin2acosa+cos2asina NX SLE  
T&o x\ j_=  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina B/5/{sH  
z2*K  
  =3sina-4sin³a *+3X:cQ\  
bRFv@23-m  
  cos3a a,YPy( t  
G{_`-,x_  
  =cos(2a+a) D4(U fPM  
z:Xg6o$   
  =cos2acosa-sin2asina )k 38  
sew%s3  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa }-oQ[$U|  
!5V}Eu4|BC  
  =4cos³a-3cosa _@1r({4n  
MTm775Q  
  sin3a=3sina-4sin³a Bq@|f+q  
A~#)/,yK  
  =4sina(3/4-sin²a) -|x?.9 |y  
7Q] KqQ+\  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] ]x~(oy*`  
_Qs 2~scR  
  =4sina(sin²60°-sin²a) 3m_4\M_S  
0:/-!GJ  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) D~3D ,IK  
smrhw7H  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] J}3v*3~w~  
i}f0@Rz  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) wc-[:ng:c  
/ S/i B  
  cos3a=4cos³a-3cosa TGvMAu_4  
u7~3S}h  
  =4cosa(cos²a-3/4) pwu]=-.j  
~H=MjjC 8  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] W`{"QO3  
G2GAtE{g  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) m-lP<\  
wP%bwE2zx/  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)  zydAt  
EBT_}"C  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} V{)49}a%7@  
& g7 "   
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) p J* =i7  
a " .!&m  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] G& ak&G93_  
cX D#/d^  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] #x!/#vj*{  
cVshY o5xt  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) %ONlW)  
K! <Ml  
  上述两式相比可得 QP;qw  
lH<[^{>  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) }W[FtB_AL  
|I@;.$SD  
半角公式 8c>"B<4   
.tca  \1  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ^$0(R4-l  
yFbp  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. s$/y#p||7  
R2kv_}OY  
和差化积 >[NQvCl  
##ur9cZ  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Ujo\2GRB  
E,1%IPyG(  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] hm-P=<B  
K.^}b$Z"  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] QRQ#TbW]  
/g>>U  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^UH9EpM%dh  
K_ ` c  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) k+%ZOrFaK)  
 0aOH 7  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) =^!S['b  
#Iz[t  
积化和差 iA$Mz>zmY  
?t6E x~  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Q`g> (I2  
h|,jp_'T  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ~ G&X- #  
!)<_O:4d&  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] AQ:.W<{M  
 AP$[  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] !B.mf3  
YbVw  
诱导公式 Tpr3v;k;  
GxwFmWZ  
  sin(-α) = -sinα (|&+]6e  
_6k{D:l?b  
  cos(-α) = cosα > mg5)~  
=/C3#m-(>  
  sin(π/2-α) = cosα c1pB)$Y  
!v'eg\e  
  cos(π/2-α) = sinα H]a*'|F  
O~%x(|{%  
  sin(π/2+α) = cosα _MHzb[m  
G!0co  
  cos(π/2+α) = -sinα wujm&!l0  
F= XN"I'8  
  sin(π-α) = sinα L<2W7:V  
d6RmKi'  
  cos(π-α) = -cosα X 64'N(x  
r%ke;PEX  
  sin(π+α) = -sinα IPY";sU|y  
:LIsOz|  
  cos(π+α) = -cosα K,6kLe  
-mh #qfc  
  tanA= sinA/cosA uCy$>MmME4  
%: zyT &  
  tan(π/2+α)=-cotα -D| gb,j  
sPH`a)(x^  
  tan(π/2-α)=cotα eOakh|  
DY<bKw +  
  tan(π-α)=-tanα A2l.j#vUD  
eZ0 Vy?/  
  tan(π+α)=tanα ~_L'2  
llRz }#/:  
万能公式 D+xduP<  
dHTi8U~  
   eai]BzPe  
y*Ivu1Y  
其它公式 Kw.3To*:  
(Qk(7Rf  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 [o }U*  
\C ztF,0  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 RR-%E:Nadx  
/,/- S,$  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 E*xNn*[  
?RQ~E2 0  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Bv\ug/  
x J+zG3  
  对于任意非直角三角形,总有 woVVs9W  
#%p6E(q~H  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC QW4>/ J:  
jMz)k4]S  
  证: bP\PdZH  
HGEmbsV #`  
  A+B=π-C )a: okV  
Wm<-w$ 4f  
  tan(A+B)=tan(π-C) 8|h$, ~@aO  
`Qn4f< a  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Kc @m/i~s  
Ieco`D\HA  
  整理可得 pO??aB l  
B6Mb +C  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 3wNI '<  
{3PUW%K  
  得证 cjS& :  
Ro}f-z0$  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 YmW@}o6][  
G+ 5 c<>  
其他非重点三角函数 H"OiyV  
eTDsH,  
  csc(a) = 1/sin(a) *gQ!nh%(!  
-~cbxK5  
  sec(a) = 1/cos(a) y-$9.1Xt8  
\.WJhIFrk  
   &o Z_q7^  
<5=)KA}B  
双曲函数 0wl6!uz  
 WSx  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ?Z>im/0  
~07Z <E  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 lYPlv.y4s  
U\)l \ ?#p  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) K];j&<\h  
EZT:]y  
  公式一: 9;P@m-D/  
(&`0v2l  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: V>r)}+/  
qk~>l[e  
  sin(2kπ+α)= sinα dZ <Q,  
oQ8S0Mh  
  cos(2kπ+α)= cosα w)C:l!vqm  
`a r?M&  
  tan(kπ+α)= tanα @C9b;Kb" ;  
e G'5hn66  
  cot(kπ+α)= cotα qil YY}  
0J2F7\`  
  公式二: ^_,p2?>O  
NyWvcn  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: F gtrcWHR  
;4QVx.^`D  
  sin(π+α)= -sinα <FZ~u`?5Q  
^|q\Fjj  
  cos(π+α)= -cosα "u+RS|liE  
%o}+-T%z  
  tan(π+α)= tanα 3WDN(tq  
PW  ]/  
  cot(π+α)= cotα  QIIAd\  
oi:0COaZZ  
  公式三: !O~4`KO  
8s/j5b$u6  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: #+$#CZBz  
dIHVy< {-H  
  sin(-α)= -sinα  5iiqBE  
vSM.D?+m  
  cos(-α)= cosα R+%AJ 0  
\HQk. <*}  
  tan(-α)= -tanα DiKP1hY  
6BlA%8G;N  
  cot(-α)= -cotα ]J:64W=U  
QJWU6<m  
  公式四: B~' BBDA  
j@|<nG  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: 75 *KP0hj  
n|X].0#qf  
  sin(π-α)= sinα v<*RPOP  
j1ub9Q^z  
  cos(π-α)= -cosα xntkn@pBY"  
BKH- ~A  
  tan(π-α)= -tanα Hf vY5  
prp=YY]  
  cot(π-α)= -cotα 1*z|9%  
+oL+ -L  
  公式五: nQK}7F/  
wRc-h6A  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: U5{h9mSEQ  
xq8<Cu h  
  sin(2π-α)= -sinα yp7&wD`  
"z#sg,d^r1  
  cos(2π-α)= cosα )H4XofX  
WsZ1$\=r  
  tan(2π-α)= -tanα JeU1 d&N  
<%[iwY(v  
  cot(2π-α)= -cotα R"/^\ ) 5  
-@z.@%k  
  公式六: @\<S` [  
"O`P .\]'  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: P<N?~3  
x`#Rw l>  
  sin(π/2+α)= cosα $Y e(W  
RM`nQqH  
  cos(π/2+α)= -sinα smXqVy]C  
YV;$no  
  tan(π/2+α)= -cotα hp :RlJ  
'#tm?cP6\  
  cot(π/2+α)= -tanα (*c0A7q1h  
-{ZJuy)i  
  sin(π/2-α)= cosα s}Ewqm  
c4RLVckG  
  cos(π/2-α)= sinα 1q0YLC(  
&:A-2fX]  
  tan(π/2-α)= cotα 7O>vDmj  
u5Gp1v_`"  
  cot(π/2-α)= tanα \Bom!nc&*  
/4nf2k+  
  sin(3π/2+α)= -cosα rKu|FZ'{G`  
P  :  
  cos(3π/2+α)= sinα vYfYx;  
j2``s \cIr  
  tan(3π/2+α)= -cotα {&dE>Ok  
\ V1)?  
  cot(3π/2+α)= -tanα l3Yb"JCxc  
''G8B.,  
  sin(3π/2-α)= -cosα mog=z.e  
RLrCD"1]  
  cos(3π/2-α)= -sinα \xoj4F"xU  
E/4!: y{  
  tan(3π/2-α)= cotα fUS0G).  
Tb)5xvn  
  cot(3π/2-α)= tanα _KH7J]&  
Rhz;u _  
  (以上k∈Z) c$<>vWV  
7u-' "N9  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Y3hSTV ;  
{w[2/%U  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = boRBKn\{o  
!u8^w(@_A  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ZZ%^cnK  
 W!d0wuw  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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