三角函数内容规律 kCCR?c+_
Zm4Z.MmB
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ur(:$53.
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1、三角函数本质: /m o&qr
[A,CAzX
三角函数的本质来源于定义 7M nJ"
} mQ^}4
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 0T
A::|e
TY $L
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 m {%&k\[
,
R?b|Y{C
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: __Y7h-
;p#s**Dq
推导: O@aJ)aM~'
2;>Ff~$7y
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 > e1s(
5]Y8cAOD
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) tJdnkA
LhXZJzlmUp
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) BV~CZi+
YF^4;Vc
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ZnaUiAYiy
Kge:yN
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) HDkX!rc
5kG,P[r.D
[1] s2@
E{JM|
P:lYnF<3c
两角和公式 wS}">eD
p[F>oPE6-w
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB $e[FEEG
>-1{P,[
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB [
Nf$
<ouf6 ;
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB "~!_*c[
\MM&q
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB K]wsSA+:6
K _`Dc~$}#
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) I<;4lb]
GE4ygRVI5
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) qmgeE}2"
6D$k/&
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 5yXvz
6
$HR}r
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) H+\^M?yc
2+7/aI "
倍角公式 W
<jW[
QD^cM
Sin2A=2SinA•CosA +YM[uYY"v.
4 s,y-
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 }bg+bqy~
51$].U
8
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) EJWe3*[I@D
2yxhM';Z
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) o<9x2c=FUH
PLwmX?GPg
三倍角公式 c+<]5j+q
;BwJ$
q$?4G~O
3<abUTQ3
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) W>}M>.f{i
2|&rBq`EA
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) S@+y>\
,}I\gz{]VP
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) }C?u=BCs
-G?Z,g<
三倍角公式推导 CuF7WO4
7u7cx
sin3a kMbQ1E6B
J8!qDA''
=sin(2a+a) 4D
U)
2c[)a}n
=sin2acosa+cos2asina NX SLE
T&ox\j_=
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina B/5/{sH
z2*K
=3sina-4sin³a *+3X:cQ\
bRFv@23-m
cos3a a,YPy(t
G{_`-,x_
=cos(2a+a) D4(U fPM
z:Xg6o$
=cos2acosa-sin2asina )k 38
sew%s3
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa }-oQ[$U|
!5V}Eu4|BC
=4cos³a-3cosa _@1r({4n
MTm775Q
sin3a=3sina-4sin³a Bq@|f+q
A~#)/,yK
=4sina(3/4-sin²a) -|x?.9
|y
7Q]
KqQ+\
=4sina[(√3/2)²-sin²a]
]x~(oy*`
_Qs
2~scR
=4sina(sin²60°-sin²a) 3m_4\M_S
0:/-!GJ
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) D~3D,IK
smrhw7H
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] J}3v*3~w~
i}f0@Rz
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) wc-[:ng:c
/ S/i
B
cos3a=4cos³a-3cosa TGvMAu_4
u7~3S}h
=4cosa(cos²a-3/4) pwu]=-.j
~H=MjjC8
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] W`{"QO3
G2GAtE{g
=4cosa(cos²a-cos²30°) m-lP<\
wP%bwE2zx/
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) zydAt
EBT_}"C
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} V{)49}a%7@
&g7 "
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) p
J* =i7
a"
.!&m
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] G& ak&G93_
cX
D#/d^
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] #x!/#vj*{
cVshY o5xt
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) %ONlW )
K!
<Ml
上述两式相比可得
QP;qw
lH<[ ^{>
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) }W[FtB_AL
|I@;.$SD
半角公式 8c>"B<4
.tca \1
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ^$0(R4-l
yFbp
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. s$/y#p||7
R2kv_}OY
和差化积 >[NQvCl
##ur9cZ
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Ujo\2GRB
E,1%IPyG(
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] hm-P=<B
K.^}b$Z"
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] QRQ#TbW]
/g>>U
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^UH9EpM%dh
K_
`
c
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) k+%ZOrFaK)
0aOH
7
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) =^!S['b
#Iz[t
积化和差 iA$Mz>zmY
?t6Ex ~
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] Q`g>
(I2
h|,jp_'T
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ~
G&X- #
!)<_O:4d&
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] AQ:.W <{M
AP$ [
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] !B.mf3
YbV w
诱导公式 Tpr3v;k;
GxwFmWZ
sin(-α) = -sinα (|&+]6e
_6k{D:l?b
cos(-α) = cosα >
mg5)~
=/C3#m-(>
sin(π/2-α) = cosα c1pB)$Y
!v'eg\e
cos(π/2-α) = sinα H]a*'|F
O~%x(| {%
sin(π/2+α) = cosα _MHzb[m
G!0co
cos(π/2+α) = -sinα wujm&!l0
F=
XN"I'8
sin(π-α) = sinα L<2W7:V
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cos(π-α) = -cosα X 64'N(x
r%ke;PEX
sin(π+α) = -sinα IPY";sU|y
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cos(π+α) = -cosα K,6kLe
-mh#qfc
tanA= sinA/cosA uCy$>MmME4
%: zyT &
tan(π/2+α)=-cotα -D| gb,j
sPH`a)(x^
tan(π/2-α)=cotα eOakh |
DY<bKw+
tan(π-α)=-tanα A2l.j#vUD
eZ0Vy?/
tan(π+α)=tanα ~_L'2
llRz}#/:
万能公式 D+xduP<
dHTi 8U~
eai]BzP e
y*Ivu1Y
其它公式 Kw.3To*:
(Qk(7Rf
(sinα)^2+(cosα)^2=1 [o }U*
\C
ztF,0
1+(tanα)^2=(secα)^2 RR-%E:Nadx
/,/-
S,$
1+(cotα)^2=(cscα)^2 E*xNn*[
?RQ~E2 0
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Bv\ug/
x
J+zG3
对于任意非直角三角形,总有 woVVs9W
#%p6E(q~H
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC QW4>/J:
jMz)k4]S
证: bP\PdZH
HGEmbsV #`
A+B=π-C ) a:okV
Wm<-w$4f
tan(A+B)=tan(π-C) 8|h$,
~@aO
`Qn4f<a
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Kc@m/i~s
Ieco`D\HA
整理可得 pO??aBl
B6Mb
+C
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 3wNI
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